在数学分析中，实数的集合S的上确界或最小上界记为 sup(S)，并被定义为大于或等于 S 中所有成员的最小实数。实数的一个重要性质是它的完备性：实数集合的所有非空子集是有上界的就是这个实数集合成员的上确界。
例子
sup
{
1
,
2
,
3
}
=
3
{\displaystyle \sup\{1,2,3\}=3\,}
sup
{
x
∈
R
:
0
<
x
<
1
}
=
sup
{
x
∈
R
:
0
≤
x
≤
1
}
=
1
{\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0 sup { ( − 1 ) n − 1 n : n ∈ N } = 1 {\displaystyle \sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \}=1\,} sup { a + b : a ∈ A and b ∈ B } = sup ( A ) + sup ( B ) {\displaystyle \sup\{a+b:a\in A{\mbox{ and }}b\in B\}=\sup(A)+\sup(B)\,} sup { x ∈ Q : x 2 < 2 } = 2 {\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}={\sqrt {2}}\,} 这个有理数的集合的上确界是个无理数，这意味着有理数是不完备的。 此外，如果我们定义在 S 是空集的时候 sup(S) = −∞ 和在 S 没有上界的时候 sup(S) = +∞ ，则实数的所有集合都在扩展的实数轴上有上确界。 sup Z = ∞ {\displaystyle \sup \mathbb {Z} =\infty \,} sup ∅ = − ∞ {\displaystyle \sup \varnothing =-\infty \,} 如果上确界属于这个集合，则它是这个集合的最大元素。术语极大元在处理实数或任何其他全序集合的时候是同义的。 要证明 a = sup(S)，必须证明 a 是 S 的上界并且 S 的任何其他上界大于 a；等价地，也可以证明 a 是 S 的上界并且小于 a 的任何数都不是 S 的上界。